定義
複素上半平面\( \mathbb{H} = \{ \tau \mid \mathrm{Im}\,\tau>0 \} \)上のホロモルフィック関数\( f(\tau) \)がモジュラー形式であるとは、全ての\( \begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix}\in SL_2(\mathbb{Z})\)に対し
\(\displaystyle f\biggl(\frac{a\tau+b}{c\tau+d}\biggr)=(c\tau+d)^k\,f(\tau)\)
という変換性と無限遠での有界性を満たすことを言います。ここで\(k\)を重み(weight)と呼びます。
変換性
行列\(\gamma=\begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix}\)作用によって
\(\displaystyle (\gamma\cdot f)(\tau) = (c\tau+d)^{-k}f\bigl(\tfrac{a\tau+b}{c\tau+d}\bigr)\)
が元の関数\(f\)に戻ることが要求されます。この条件がモジュラー群の不変性を保証します。
q展開
変数\(q=e^{2\pi i\tau}\)によるテイラー展開をq展開と呼び、
\(\displaystyle f(\tau)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n\,q^n\)
と書くことで係数列\(a_n\)が様々な数論的情報を含むことが知られています。
モジュラー形式の空間
重み\(k\)のモジュラー形式全体は有限次元線形空間を成し、
\(\displaystyle \dim M_k = \begin{cases}
\lfloor \tfrac{k}{12}\rfloor & k\equiv2\!\!\mod12,\\
\lfloor \tfrac{k}{12}\rfloor+1 & \text{otherwise}.
\end{cases}\)
特に零点条件を加えた空間をクスプ形式空間と呼びます。
- エイゼンシュタイン級数\(E_4,E_6\)
- ディスクリミナント関数\(\Delta(\tau)=q\prod_{n=1}^\infty(1-q^n)^{24}\)